Geometrische Rendite: die tatsächliche Durchschnittsverzinsung

Warum das geometrische Mittel

Renditen wirken multiplikativ: Ein Kapital wird Jahr für Jahr mit einem Faktor multipliziert, nicht um einen Betrag erhöht. Ein einfacher Durchschnitt der Prozentzahlen ignoriert das und liefert deshalb systematisch zu hohe Werte.

Der Effekt lässt sich an einem Extremfall zeigen. Zwei Jahre, im ersten +50 Prozent, im zweiten −50 Prozent:

• Das arithmetische Mittel beträgt 0 Prozent — es sähe nach einem Nullsummenjahrpaar aus.
• Tatsächlich steht ein Kapital von 100 nach zwei Jahren bei 75. Die geometrische Rendite beträgt rund −13,4 Prozent pro Jahr.

Die Differenz ist kein Rechenfehler, sondern eine Eigenschaft schwankender Reihen: Je stärker die Werte streuen, desto weiter liegt das arithmetische über dem geometrischen Mittel. Bei ruhigen Reihen nähern sich beide an; bei identischen Jahresrenditen sind sie gleich.

Die Formel lautet:

(Endwert ÷ Anfangswert) hoch (1 ÷ Anzahl Jahre) − 1

In Auswertungen taucht dieselbe Größe häufig als „annualisierte Rendite" oder als CAGR auf. Gemeint ist jeweils dasselbe.

Praktisch heißt das: Sobald eine Rendite über mehrere Perioden angegeben wird, ist sie geometrisch zu verstehen — auch dann, wenn das nicht dabeisteht. Nur bei Angaben für ein einzelnes Jahr fallen beide Begriffe zusammen.

Die Berechnung an einer Renditereihe

Ein Modellbeispiel mit gesetzten Annahmen:

• Sparrate: 427 € pro Monat
• Laufzeit: 12 Jahre
• Renditeannahme: 5,3 % pro Jahr
• Zielbetrag: 398.000 €

Für die Kennzahl selbst reicht eine kurze Reihe. Angenommen, vier aufeinanderfolgende Jahre liefern +18 %, −9 %, +11 % und +4 %:

Das arithmetische Mittel dieser vier Werte beträgt 6,0 Prozent. Die geometrische Rendite ergibt sich aus 12.396 geteilt durch 10.000, hoch ein Viertel, minus eins — also rund 5,5 Prozent.

Der Unterschied von einem halben Prozentpunkt klingt harmlos. Auf die zwölf Jahre der Modellrechnung hochgerechnet trennt er zwei Endkapitalien, die bereits um einen vierstelligen Betrag auseinanderliegen; über eine volle Ansparzeit wird daraus ein fünfstelliger. Genau deshalb ist die Angabe in Factsheets und Auswertungen praktisch immer die geometrische — und genau deshalb führt der Vergleich mit einer selbst gemittelten Zahl in die Irre.

Wie sich die Reihenfolge derselben Renditen zusätzlich auswirkt, sobald Zahlungen fließen, zeigt Renditereihenfolge verstehen. Die inflationsbereinigte Variante steht unter Realrendite.

Modellrechnung, keine Prognose. Die Werte sind gesetzt, nicht erwartet.

Keine Anlageberatung. Keine Steuerberatung. Historische Durchschnittsrenditen beschreiben vergangene Zeiträume und lassen keinen Schluss auf künftige Ergebnisse zu.