Arithmetisches Mittel: der einfache Durchschnitt

Wie der Durchschnitt gebildet wird

Die Berechnung ist der Mittelwert im Alltagsverständnis:

(Wert 1 + Wert 2 + … + Wert n) ÷ n

Er beantwortet die Frage: Welchen Wert müsste jede Beobachtung haben, damit die Summe gleich bleibt? Genau dort liegt die Eignung — und die Grenze.

Bei additiven Größen ist das die passende Frage. Bei vier Monatsgehältern von 3.000, 3.200, 2.900 und 3.100 Euro ist das arithmetische Mittel von 3.050 Euro eine sinnvolle Aussage: Vier Monate zu 3.050 Euro ergeben dieselbe Summe.

Renditen sind jedoch multiplikativ. Ein Kapital wird Jahr für Jahr mit einem Faktor multipliziert, nicht um einen Betrag erhöht. Die passende Frage lautet deshalb nicht „welcher Wert erhält die Summe?", sondern „welcher Wert erhält das Endergebnis?". Diese Frage beantwortet die geometrische Rendite.

Beide Mittelwerte fallen nur dann zusammen, wenn alle Werte identisch sind. Sobald sie streuen, liegt das arithmetische Mittel immer über dem geometrischen — und der Abstand wächst mit der Streuung.

Warum er bei Renditen irreführt

Ein Beispiel macht die Größenordnung deutlich. Zwei Jahre, im ersten +50 Prozent, im zweiten −40 Prozent:

Zwischen den beiden Mittelwerten liegen mehr als zehn Prozentpunkte — und sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Wer mit dem arithmetischen Mittel weiterrechnet, unterstellt Wachstum, wo tatsächlich Verlust eingetreten ist.

Der Grund für die Richtungsumkehr liegt in der Asymmetrie prozentualer Veränderungen: Ein Verlust von 40 Prozent erfordert einen Gewinn von rund 67 Prozent, um wieder auf den Ausgangswert zu kommen — nicht von 40. Das arithmetische Mittel behandelt beide Werte gleich und übersieht genau diesen Zusammenhang.

Praktisch relevant wird das an drei Stellen:

• Bei der Renditeerwartung. Wird ein arithmetischer Durchschnitt als Annahme gesetzt, fällt die gesamte Modellrechnung zu optimistisch aus.
• Beim Vergleich von Angaben. Factsheets weisen praktisch immer geometrische Werte aus. Ein selbst gemittelter Wert ist damit nicht vergleichbar.
• Bei Werbeaussagen. Ein arithmetischer Durchschnitt ergibt die freundlichere Zahl — ein Grund, bei Renditeangaben nach der Berechnungsart zu fragen.

Was zusätzlich passiert, sobald Ein- oder Auszahlungen hinzukommen, behandelt Renditereihenfolge verstehen.

Keine Anlageberatung. Keine Steuerberatung. Historische Durchschnitte beschreiben vergangene Zeiträume und lassen keinen Schluss auf künftige Ergebnisse zu.